反函数
更多信息：反函数
若某函数存在反函数，其映射必为单射。若映射
f
{\displaystyle f}
非单射，可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如：
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
因为
x
2
=
(
−
x
)
2
{\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}
，故非单射。但若将定义域限制到
x
≥
0
{\displaystyle x\geq {0}}
时该映射为单射，此时有反函数
f
−
1
(
y
)
=
y
{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}
（若限制定义域至
x
≤
0
{\displaystyle x\leq {0}}
，输出
y
{\displaystyle y}
的负平方根的函数为反函数。）另外，若允许反函数为多値函数，则无需限制原函数的定义域。
粘接引理
更多信息：粘接引理（英语：Pasting lemma）
点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。
粘接引理
设拓扑空间
A
{\displaystyle A}
的子集
X
,
Y
{\displaystyle X,\ Y}
同时为开或闭，且满足
A
=
X
∪
Y
{\displaystyle A=X\cup {Y}}
，设
B
{\displaystyle B}
为拓扑空间。若映射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to {B}}
到
X
{\displaystyle X}
及
Y
{\displaystyle Y}
的限制都连续，则
f
{\displaystyle f}
也是连续的。基于此结论，粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数，可以得到一个新的连续函数。
层
主条目：层 (数学)
层将函数的限制推广到其他物件的限制。
层论中，拓扑空间
X
{\displaystyle X}
的每个开集
U
{\displaystyle U}
，有另一个范畴中的物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
与之对应，其中要求
F
{\displaystyle F}
满足某些性质。最重要的性质是，若一个开集包含另一个开集，则对应的两个物件之间有限制态射，即若
V
⊆
U
{\displaystyle V\subseteq U}
，则有态射
r
e
s
V
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}
，且该些态射应仿照函数的限制，满足下列条件：
对
X
{\displaystyle X}
的每个开集
U
{\displaystyle U}
，限制态射
r
e
s
U
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
U
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}
为
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
上的恒等态射。
若有三个开集
W
⊆
V
⊆
U
{\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}
，则复合
r
e
s
W
,
V
∘
r
e
s
V
,
U
=
r
e
s
W
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}
。
（局部性）若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
为某个开集
U
{\displaystyle U}
的开覆盖，且
s
,
t
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s,t\in F(U)}
满足：对所有
i
{\displaystyle i}
，
s
↾
U
i
=
t
↾
U
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}
，则
s
=
t
{\displaystyle s=t}
。
（黏合) 若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
为某个开集
U
{\displaystyle U}
的开覆盖，且对每个
i
{\displaystyle i}
，给定截面
s
i
∈
F
(
U
i
)
{\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}
，使得对任意两个
i
,
j
{\displaystyle i,j}
，都有
s
i
,
s
j
{\displaystyle s_{i},s_{j}}
在定义域重叠部分重合（即
s
i
↾
U
i
∩
U
j
=
s
j
↾
U
i
∩
U
j
{\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}
），则存在截面
s
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s\in F(U)}
使得对所有
i
{\displaystyle i}
，
s
↾
U
i
=
s
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}
。所谓拓扑空间
X
{\displaystyle X}
上的层，就是该些物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
和态射
r
e
s
V
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}
组成的整体
(
F
,
r
e
s
)
{\displaystyle (F,\mathrm {res} )}
。若仅满足前两项条件，则称为预层。